Lame function Maple animation plot
拉梅函數(Lame functions)是下列拉梅方程的解:[1][2][3]
- 雅可比形式
+
此拉梅方程的正則奇點在複數平面的
其中 p,q ∈Z,K代表模數為k的完全橢圓積分,K'代表模數為
的完全橢圓積分。
其中 k,v 都是實數,並且
,
- 代數形式
作雅可比橢圓函數變數替換
得拉梅方程的代數形式:
,
此傅克型方程有四個正則奇點
- 魏爾斯特拉斯形式[3]
其中
是魏爾斯特拉斯函數
- 三角函數形式
在雅可比形式的拉梅方程中做代換[4]
可得
![{\displaystyle [1-(kcos\zeta )^{2}]{\frac {d^{2}\Lambda }{d\Lambda ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf84f8de4985725610c202047ca76f13a9d2737)
在上列方程組
等是實數或複數常數,而各變量為複數。
拉梅方程的本徵值[編輯]
對於給定的參數v,k,存在四套實數本徵值h,令拉梅方程的奇數解或偶數解有2K或4K周期[5]。
本徵值 h |
奇偶 |
周期
|
![{\displaystyle a_{v}^{2m}(k^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbba569b5d106ffc6cc331ce6e7b6d6e65b05fb2) |
偶 |
2K
|
![{\displaystyle a_{v}^{2m+1}(k^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1d55f43a9afd0b94d635aa60effbb7323a4165) |
奇 |
4K
|
![{\displaystyle b_{v}^{2m}(k^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/631268e54146b2982fe0c33340c03a001fcbf470) |
偶 |
4K
|
![{\displaystyle b_{v}^{2m+1}(k^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c0a9f42ff2c6994f22a6a7ae3033fad18e40c57) |
奇 |
2K
|
拉梅函數[編輯]
與每一個本徵值對應的本徵函數,稱為v階拉梅函數,其記法及周期性列表於下:[6]
本徵值 h |
奇偶 |
周期 |
本徵函數(拉梅函數)
|
![{\displaystyle a_{v}^{2m}(k^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbba569b5d106ffc6cc331ce6e7b6d6e65b05fb2) |
偶 |
2K |
|
![{\displaystyle a_{v}^{2m+1}(k^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1d55f43a9afd0b94d635aa60effbb7323a4165) |
奇 |
4K |
|
![{\displaystyle b_{v}^{2m}(k^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/631268e54146b2982fe0c33340c03a001fcbf470) |
偶 |
4K |
|
![{\displaystyle b_{v}^{2m+1}(k^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c0a9f42ff2c6994f22a6a7ae3033fad18e40c57) |
奇 |
2K |
|
其中
代表在(0,2K)區間內的零點數。
拉梅函數是Heun函數的特例[編輯]
Heun方程
令=
則化為拉梅方程
拉梅方程的Heun函數解[編輯]
由於拉梅方程式是Heun方程的特例,因此拉梅方程可以用HeunG函數表示[7]
其中二個HeunG函數是線性無關的。
拉梅函數的冪級數展開[編輯]
拉梅函數可以展開成冪級數形式[8]
其中
只能取
- 例子
參考文獻[編輯]
- ^ 王竹溪 第572頁
- ^ Whittaker p554
- ^ 3.0 3.1 Erdelyi p55
- ^ Erdelyi p 56
- ^ Frank Oliver p685
- ^ Frank, p684
- ^ Frank Oliver,p713
- ^ 王竹溪 第573頁
- 王竹溪 郭敦仁 《特殊函數概論》 北京大學出版 2000
- Whittaker and Watson, A Course of Modern Analysis 1920, Cambridge University Press
- Erdelyi, Higher Transcendental Functions Vol III